O valor de [tex]\tt a^2+b^2[/tex] é igual a 59.
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São dados [tex]\tt a-b=7[/tex] e [tex]\tt ab=5[/tex] e pede-se o valor de [tex]\tt a^2+b^2.[/tex]
Para encontrar tal valor, vamos usar o seguinte produto notável, que vale para quaisquer números reais [tex]\tt x[/tex] e [tex]\tt y:[/tex]
[tex]\Large\text{$\tt (x-y)^2=x^2-2xy+y^2.$}[/tex]
Desse produto notável, segue que:
[tex]\Large\boxed{\tt x^2+y^2=(x-y)^2+2xy.}[/tex]
Daí, usando os dados desta questão, temos:
[tex]\Large\begin{aligned}\tt a^2+b^2&=\tt (a-b)^2+2ab\\\\&=\tt 7^2+2\cdot 5\\\\&=\tt 49+10\\\\&=\tt 59.\end{aligned}[/tex]
Portanto, o valor procurado é
[tex]\Large\boxed{\boxed{\tt a^2+b^2=59.}}[/tex]
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