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Solução para a segunda derivada  Y = 2x . ( x - 1)^3

Qual a derivada de primeira ordem da função:  Y =  e ^2x
                                                                           x + 1             

Sagot :

FelipeQueiroz
Aqui é preciso saber duas coisas:
I) (f(g(x)))' = f'(g(x)).g'(x)
II) (f(x).g(x))' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)
Onde aquela linha ali indica a derivada da função em relação a x.

a) Por II:
f(x) = 2x; g(x) = (x-1)³ => f'(x) = 2; g'(x) = 3(x-1)²
y' = 2(x-1)³ + 2x.3(x-1)²
y'' = 2.3(x-1)² + 6(x-1)² + 6x.2(x-1) => y'' = 12(x-1)² + 12x(x-1)

b) A função do denominador pode ser reescrita como [tex](x+1)^{-1}[/tex].
[tex]f(x) = e^{x}[/tex], g(x) = 2x, (fiz isso porque f(g(x)) = [tex]e^{2x}[/tex]) [tex]h(x)=(x+1)^{-1}[/tex] =>
=> (f(g(x)))' = [tex]2.e^{2x}[/tex] (por I); h'(x) = [tex]-(x+1)^{-2}[/tex].

[tex]y' = 2.e^{2x}.(x+1)^{-1}-(x+1)^{-2}.e^{2x} = \frac{2e^{2x}}{x+1}-\frac{e^{2x}}{(x+1)^{2}}=> y' = \frac{e^{x}.(2x-1)}{(x+1)^{2}}[/tex]
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