Vamos lá.
Se os três lados estão em PA e a razão é 4, então podemos chamar os três lados assim, veja:
a1 = x-4
a2 = x
a3 = x+4. <-----Veja: se o triângulo é retângulo, então o maior lado é a hipotenusa (x+4).
Conforme Pitágoras, a hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos catetos ao quadrado, ou seja:
(x+4)² = (x-4)² + x²
x² + 8x + 16 = x² - 8x + 16 + x²
x² + 8x + 16 = 2x² - 8x + 16 ----passando todo o 1º membro para o 2º, temos:
0 =2x² - 8x + 16 - x² - 8x - 16
0 = x² - 16x , ou
x² - 16x = 0 -------colocando "x" em evidência, temos:
x*(x - 16) = 0 ------daqui você conclui que:
x = 0 ---------> x' = 0
x - 16 = 0 -----> x'' = 16
Veja que para x = 0 NÃO SATISFAZ, porque assim teríamos um lado igual a zero, e isso não pode.
Assim, tomaremos a raiz igual a 16, ficando:
1º lado = x-4 ----> 16-4 = 12 ----------> 12
2º lado = x = 16 -------------------------> 16
3º lado = x+4 = 16+4 = 20 ------------> 20
Logo, o perímetro, que é igual à soma dos três lados, será:
12 + 16 + 20 = 48cm <------Pronto. Essa é a resposta.
Veja que não utilizamos a informação relativa à área porque os dados de que dispúnhamos já eram suficientes para calcular os três lados sem utilizar a área do triângulo. Apenas por curiosidade, veja que a área do triãngulo é realmente 96cm². Observe: 12*16/2 = 192/2 = 96cm².
