1)
Para calcular a derivada de f, temos que aplicar a regra de derivação para polinômios, que pela propriedade da derivada, é a mesma coisa que derivar cada termo, logo a derivada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}f(x) = x^n\\ \\\frac{d}{dx}f(x) = nx^{n-1}\end{gathered}$}[/tex]
Então no nosso polinômio temos que a derivada é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}f(x) = x^2 - nx^2 - 3x\\ \\\frac{d}{dx}f(x) = 2x - 2nx -3 \\ \Downarrow \\ \frac{d}{dx}f(x) = 2x\left(1-n\right) -3\end{gathered}$}[/tex]
No caso em que f'(x) = n temos que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(n) = 2n\left(1-n\right) -3\\ \\\frac{d}{dx}f(n) = -2n^2 + 2n - 3\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
2)
Agora vamos calcular o limite:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\lim_{x \to n} x^2 + x\left(n-3\right) - \frac{3n}{x^2}-nx\end{gathered}$}[/tex]
Mas antes de calcular ele de fato, vamos fazer algumas distributivas e colcocar termos em evidência para simplificar:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\lim_{x \to n} x^2 + xn - 3x - \frac{3n}{x^2}-xn\\ \Downarrow\\ \lim_{x \to n} x^2 - 3x - \frac{3n}{x^2}\\ \Downarrow\\ \lim_{x \to n} x^2 - 3\left(x + \frac{n}{x^2}\right)\\ \Downarrow\\ \lim_{x \to n} x^2 - 3\left(\frac{x^3+n}{x^2}\right)\end{gathered}$}[/tex]
Agora vamos de fato fazer o limite quando x → n, que será:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\lim_{x \to n} n^2 - 3\left(\frac{n^3+n}{n^2}\right)\\ \\n^2 - 3\left(\frac{n^2+1}{n}\right)\\ \\n^2 - \frac{3n^2-3}{n}\\ \\n^2 - 3n - \frac{3}{n}\\ \\\end{gathered}$}[/tex]
Note que quando n → 0, a função tem uma assíntota vertical
Espero ter ajudado
Qualquer dúvida respondo nos comentários.
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