Explicação passo a passo:
Olá Rayramirez!
a)
Sabemos que uma base de um espaço vetorial [tex]\displaystyle \mathtt{E}[/tex] é um conjunto [tex]\displaystyle \mathtt{B \subset E}[/tex] Linearmente Independente (L.I) que gera
[tex]\\ \displaystyle \mathtt{\bullet \quad 0 \in F} \\\\ \mathtt{\bullet \quad u, v \in F \Rightarrow u + v \in F} \\\\ \mathtt{\bullet \quad v \in F \Rightarrow \alpha v \in F, \ \forall \alpha \in \mathbb{R}}[/tex]
Assim, todo vetor [tex]\displaystyle \mathtt{v \in F}[/tex] exprime de maneira única a combinação linear de elementos [tex]\displaystyle \mathtt{v_1, v_2, \hdots, v_n}[/tex] da base [tex]\displaystyle \mathtt{B}[/tex] com as coordenadas do vetor [tex]\displaystyle \mathtt{v}[/tex]. Em símbolos,
[tex]\displaystyle \boxed{\mathtt{v = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \hdots + \alpha_n v_n}}[/tex]
Dito isto, concentremo-nos em verificar se e é L.I. Inicialmente, admitamos que sim. Daí,
[tex]\\ \displaystyle \mathtt{\alpha_1 \cdot (1, 0) + \alpha_2 \cdot (0, 1) = 0} \\\\ \mathtt{(\alpha_1, 0) + (0, \alpha_2) = (0, 0)} \\\\ \mathtt{(\alpha_1, \alpha_2) = (0, 0)} \\\\ \boxed{\mathtt{\alpha_1 = 0}} \ e \ \boxed{\mathtt{\alpha_2 = 0}}[/tex]
De fato, o conjunto é L.I. Portanto, é uma base de .
b)
Verifiquemos se [tex]\displaystyle \mathtt{B}[/tex] é L.I. Sabe-se que [tex]\displaystyle \mathtt{P_n}[/tex] representa o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a [tex]\displaystyle \mathtt{n}[/tex]. Neste caso específico, devemos verificar se:
[tex]\\ \displaystyle \mathtt{\alpha_1 \cdot r(t) + \alpha_2 \cdot s(t) + \alpha_3 \cdot x(t) + \alpha_4 \cdot y(t) = 0} \\\\ \mathtt{\alpha_1 (1 + t) + \alpha_2 (t^2 + t^3) + \alpha_3 (- 1 + t^3) + \alpha_4 (t) = 0} \\\\ \mathtt{\alpha_1 + \alpha_1 \cdot t + \alpha_2 \cdot t^2 + \alpha_2 \cdot t^3 - \alpha_3 + \alpha_3 \cdot t^3 + \alpha_4 \cdot t = 0} \\\\ \mathtt{(\alpha_1 - \alpha_3) + (\alpha_1 + \alpha_4) \cdot t + \alpha_2 \cdot t^2 + (\alpha_2 + \alpha_3) \cdot t^3 = 0 + 0t + 0t^2 + 0t^3} \\\\ \begin{cases} \mathtt{\alpha_1 - \alpha_3 = 0} \\ \mathtt{\alpha_1 + \alpha_4 = 0} \\ \mathtt{\alpha_2 = 0} \\ \mathtt{\alpha_2 + \alpha_3 = 0} \end{cases} \\\\ \boxed{\mathtt{\alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = \alpha_4 = 0 \cdot}}[/tex]
Daí, conclui-se que [tex]\displaystyle \mathtt{B}[/tex] é L.I, portanto, base de [tex]\displaystyle \mathtt{P_3}[/tex].
Teorema:
Seja [tex]\mathit{X}[/tex] um conjunto L.I no espaço vetorial [tex]\mathit{E}[/tex]. Se [tex]\mathit{\gamma_1 u_1 + \gamma_2 u_2 + \hdots +\gamma_n u_n = 0}[/tex] com [tex]\mathit{u_1, u_2, \hdots, u_n \in X}[/tex], então [tex]\mathit{\gamma_1 = \gamma_2 = \hdots = \gamma_n = 0}[/tex]. Reciprocamente, se a única combinação linear nula de vetores de [tex]\mathit{X}[/tex] é aquela cujos coeficientes são todos iguas a zero, então [tex]\mathit{X}[/tex] é um conjunto L.I.
