Considere a função f: R -> R, tal que f(x) = x² - 2x. Fazendo as modificações necessárias, transforme-a em uma função inversível e obtenha sua inversa.
Passo 1: Descobrir qual a imagem da função f(x)
x² - 2x = 0
Como essa função tem concavidade para cima, para descobrir o seu valor mínimo devemos descobrir o Yv.
Yv = - Δ/ 4a
Yv = -(4 - 4(1)(0)) / 4(1)
Yv = -4/4 = -1
Portanto, a Im = [-1; + ∞[
Passo 2: Trocar o x pelo y
Temos a equação: y = x² - 2x
Trocando, teremos:
x = y² - 2y
Ajeitando essa equação, teremos:
y² - 2y - x = 0
Passo 3: Resolver a equação já invertida
Δ = (-2)² - 4(1)(-x)
Δ = 4 + 4x
Δ = 4(x + 1)
y = 2 +- 2√x + 1/ 2
y = 1 +- √x + 1
Passo 4: Avaliar a imagem da função f(x) e ver qual valor de y está dentro dela
Temos:
1 + √x + 1
1 - √x + 1
A nossa imagem é do [-1; + ∞[
Portanto, o valor que estará nesse intervalo é o:
y = 1 + √ x + 1
OBS: Não teria como o 1 - √x+ 1 estar nesse intervalo, porque ele seria menor do que -1, e isso não faria parte da imagem da f(x).
Espero ter ajudado
