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Quantos subconjuntos com pelo menos três elementos possui o conjunto a ={a, b, c, d, e, f}?

Um fabricante deperfumes dispões de oito essências diferentes para a fabricação de perfumes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas essências resulta numa fragrância diferente, calcule o número de fragrâncias que podem ser obtidas

Sagot :

Quantos subconjuntos com pelo menos três elementos possui o conjunto a ={a, b, c, d, e, f}?

 

Basta escolhermos [tex]3[/tex] elementos entre os [tex]6[/tex] disponíveis.

 

Desse modo, temos [tex]\binom{6}{3}=\dfrac{6!}{3!\cdot3!}=20[/tex] subconjuntos.

 

Um fabricante de perfumes dispões de oito essências diferentes para a fabricação de perfumes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas essências resulta numa fragrância diferente, calcule o número de fragrâncias que podem ser obtidas.

 

Observe que cada mistura de pelo menos duas essências resulta numa fragância diferente.

 

Desse modo, podemos combinar duas fragências, três, quatro, ..., oito fragâncias.

 

Mistura com duas essências

 

[tex]\binom{8}{2}=\dfrac{8!}{2!\cdot6!}=28[/tex] fragâncias

 

Mistura com três essências

 

[tex]\binom{7}{2}=\dfrac{7!}{2!\cdot5!}=21[/tex] fragâncias

 

Mistura com quatro essências

 

[tex]\binom{8}{4}=\dfrac{8!}{4!\cdot4!}=70[/tex] fragâncias

 

Mistura com cinco essências

 

[tex]\binom{8}{5}=\dfrac{8!}{5!\cdot3!}=56[/tex] fragâncias

 

Mistura com seis essências

 

[tex]\binom{8}{6}=\dfrac{8!}{6!\cdo26!}=28[/tex] fragâncias

 

Mistura com sete essências

 

[tex]\binom{8}{7}=\dfrac{8!}{7!\cdot1!}=8[/tex] fragâncias

 

Mistura com oito essências

 

[tex]\binom{8}{8}=\dfrac{8!}{8!\cdot0!}=1[/tex] fragância.

 

Logo, podem ser obtidas [tex]28+21+70+56+28+8+1=212[/tex] fragâncias.

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