Resposta:
A função f será contínua para a = b = 1/2.
Explicação passo a passo:
Para responder a esta questão vamos aplicar conceitos de cálculo como limites e continuidade de funções.
Para uma função ser contínua três condições devem ser satisfeitas:
I - O limite da função nos pontos "candidatos" a descontinuidade deve existir;
[tex]$ \lim_{x \to a} f(x) = L[/tex]
II - A função deve ser definida nesse ponto;
[tex]f(a)[/tex] é definido
III - O limite de f deve ser igual ao valor numérico da função no ponto.
[tex]f(a)=L[/tex]
Assim de acordo com a função dada temos:
Os pontos candidatos a descontinuidade são x = 2 e x = 3.
Analisando x = 2 obtemos:
[tex]$ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2-4}{x-2}= \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x+2)(x-2)}{x-2} =\lim_{x \to 2^-} x+2=4[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 2^+} ax^2-bx+3=4a-2b+3[/tex]
Para existir o limite, seus limites laterais devem ser iguais.
[tex]4a-2b+3=4\\\\4a-2b=1 \ \ (I)[/tex]
Por outro lado, analisando x = 3 temos:
[tex]$ \lim_{x \to 3^-} ax^2-bx+3 = 9a-3b+3[/tex]
[tex]$ \lim_{x \to 3^+} 2x-a+b=6-a+b[/tex]
Novamente igualamos os limites laterais.
[tex]9a-3b+3=6-a+b\\\\10a-4b=3 \ \ (II)[/tex]
Resolvendo o sistema formado por (I) e (II) usando o método da adição podemos (II) menos o dobro de (I).
[tex]2a=1\\\\a=\dfrac{1}{2} \ e \ b=\dfrac{1}{2}[/tex]
Para estes valores de "a" e "b" a função f(x) é contínua, pois todas as condições foram satisfeitas.
