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Encontre uma fórmula(fração) que represente o n-ésimo termo

da sequência de somas parciais para determinar se a série ∑ n=1 tendendo ao infinito (1/n - 1/n+1)

converge ou diverge. Se convergir, encontre a soma.



Me ajudem por favor!!!

Encontre Uma Fórmulafração Que Represente O Nésimo Termoda Sequência De Somas Parciais Para Determinar Se A Série N1 Tendendo Ao Infinito 1n 1n1converge Ou Dive class=

Sagot :

Explicação passo a passo:

Primeiro vamos reescrever a soma como

                                  [tex]\sum^{\infty}_{n=1}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}) = \sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2+n}[/tex]

Sabemos que     [tex]n^2 \leq n^2 + n \Rightarrow \frac{1}{n^2+n} \leq \frac{1}{n^2}[/tex],

Como a série [tex]\sum\frac{1}{n^2}[/tex] converge temos que  [tex]\sum^{\infty}_{n=1}\frac{1}{n^2+n}[/tex] também converge.

Agora vamos analisar as somas parciais:

                  [tex]\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3}+\dots-\frac{1}{k} + \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}[/tex]

Note que podemos fazer uma soma telescópica e cortar os termos sobrando

                                     [tex]\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{k+1}[/tex]

Agora utilizando a definição sabemos que

                           [tex]\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \lim_{k\to\infty}\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}[/tex]

E como

[tex]\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = 1 - \frac{1}{k+1} \Rightarrow \lim_{k\to\infty}\sum^{k}_{n=1}\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1} = \lim_{k\to\infty}1 - \frac{1}{k+1} = 1[/tex]

Temos finalmente que

                                          [tex]\sum^{\infty}_{n=1} \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = 1[/tex]

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