O volume de um cilindro é dado por:
[tex] \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \: V = \pi \: . \: r^{2} \: . \: h[/tex]
Pelo enunciado sabemos o valor do Volume (V) e a altura (h), portanto:
[tex]16 \pi x {}^{3} - 48\pi x {}^{2} = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: (x - 3) \\ \cancel{\pi}.(16x {}^{3} - 48x {}^{2} ) = \cancel{\pi} \: . \: r {}^{2} \: . \: (x - 3) \\ 16x {}^{3} - 48x {}^{2} = r {}^{2} .(x - 3) \\ 16x ^{3} - 48x {}^{2} = r {}^{2} \: . \: x - 3 \: . \: r {}^{2} \\ 16x {}^{3} - 48x {}^{2} - r {}^{2} .x = - 3r {}^{2} \\ 16x {}^{2} .(x - 3) - r {}^{2} .x = - 3r {}^{2} \\ 16x {}^{2} .(x - 3) = - 3r {}^{2} + r {}^{2} .x \\ 16x {}^{2} .( x - 3) = r {}^{2} .(x - 3) \\ \frac{16x {}^{2}(x - 3) }{(x - 3)} = r {}^{2} \\ 16x {}^{2} = r {}^{2} \\ r = \sqrt{16 {x}^{2} } \\ r = |4x| [/tex]
Como o raio é uma medida de comprimento, ele só assume valores positivos. Sabendo do valor do raio, podemos determinar o comprimento da circunferência da base.
[tex] \: \: \: \: \: C = 2\pi r \: \: \to \: \: C = 2\pi \: . \: 4x \\ \\ \boxed{ C = 8\pi x}[/tex]
Espero ter ajudado
