O valor da área da região limitada entre as funções utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo é de [tex]4,5 \ u.a.[/tex]
O Teorema Fundamental do Cálculo pode ser enunciado da seguinte forma:
"Se [tex]f[/tex] for uma função contínua no intervalo [tex][a, b][/tex], então [tex]$\int_a^b \ f(x) \ dx=F(b)-F(a)[/tex] , onde [tex]F(x)[/tex] é uma primitiva qualquer de [tex]f[/tex]".
E este teorema fornece como interpretação geométrica a área da região entre o eixo [tex]OX[/tex] e o gráfico de [tex]f[/tex] no intervalo [tex][a, b][/tex].
Nesta questão como desejamos obter a área limitada por duas funções calculamos a seguinte integral definida:
[tex]$A_R=\int_a^b [(g(x)-f(x)] \ dx[/tex]
onde o gráfico da função [tex]g(x)[/tex] esta acima do gráfico da função [tex]f(x)[/tex].
De acordo com o gráfico das funções [tex]f(x)=x^2-1[/tex] e [tex]g(x)=x+1[/tex] na figura abaixo temos a seguinte integral definida:
[tex]$A_R=\int_{-1}^{2} [g(x)-f(x)] \ dx[/tex]
[tex]$A_R=\int_{-1}^{2} [x+1-x^2+1] \ dx[/tex]
[tex]$A_R=\int_{-1}^{2} (2+x-x^2) \ dx[/tex]
[tex]$A_R=\left[2x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}[/tex]
[tex]$A_R=\left[2\cdot 2+\dfrac{2^2}{2}-\dfrac{2^3}{3}\right]-\left[2\cdot (-1)+\dfrac{(-1)^2}{2}-\dfrac{(-1)^3}{3}\right][/tex]
[tex]$A_R=4+2-\dfrac{8}{3}\right]+2-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\right][/tex]
[tex]$A_R=\dfrac{9}{5}=4,5 \ u.a.[/tex]
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