Usando a definição de fatorial, e o modo como pode ser desdobrado,
obtém-se:
1 / ( n² + 2n - 3 )
Definição de fatorial de um número.
É o produto do número por todos os seus antecessores até 1 ( incluído ).
Exemplo:
7 ! = 7 * 6 * 4 * 3 * 2 * 1
ou
7! = 7 * ( 7 - 1 ) * ( 7 - 2 ) * ( 7 - 3 ) * ( 7 - 4) * ( 7 - 5 ) * ( 7 - 6)
7! = 7* 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1
Mas repare que no desenvolvimento de fatorial de um número podemos
"parar" num determinado sítio.
E colocar o símbolo de fatorial ( ! ) no número em que se parou.
Exemplos:
7 ! = 7 * 6!
7! = 7 * 6 * 5 * 4!
Parámos aonde nos convier para possíveis simplificações.
[tex]\dfrac{(n-2)!}{(n+3)!}~*~\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!}\\\\\\\dfrac{(n-2)!*(n+2)!}{(n+3)!*(n-1)!}\\\\\\\dfrac{(n-2)!*(n+2)!}{(n+3)(n+3-1)!*(n-1)*(n-1-1)!}\\\\\\\dfrac{(n-2)!*(n+2)!}{(n+3)(n+2)!*(n-1)*(n-2)!}\\\\\\simplificando\\\\\dfrac{1}{(n+3)*(n-1)}\\\\\\Operando~no~denominador\\\\\\\dfrac{1}{n*n-n*1+3*n-3*1}\\\\\dfrac{1}{n^2-n+3n-3}\\\\\\\dfrac{1}{n^2+2n-3}[/tex]
Foi o que fiz na resolução.
[tex](n+3)!=(n+3)*(n+3-1)!=(n+3)*(n+2)![/tex]
[tex](n-1)!=(n-1)*(n-1-1)!=(n-1)*(n-2)![/tex]
Parto sempre de um valor superior ( n + 3) > ( n + 2 ) para chegar ao
fatorial de valor menor.
Para poder simplificar ( cancelar) com parte do denominador.
O resultado que obtive é aquele que não contém nenhum fatorial.
E está corretíssimo.
Mas não existe nas possiblidades de gabarito.
Ver mais, com Brainly , sobre fatorial de um número
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https://brainly.com.br/tarefa/24672731
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Bons estudos.
Att Duarte Morgado
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( * ) multiplicação
Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.
O que eu sei, eu ensino.
