Na disciplina de Matemática de certo curso, o professor aplicou 3 provas com pesos diferentes. Para melhor organizar as notas, ele construiu um quadro contendo a nota dos alunos em cada prova e sua média ponderada. No quadro estão destacadas as notas dos 3 alunos que obtiveram o melhor desempenho.
De acordo com o quadro, determine o peso de cada prova, sabendo que a soma deles é 10.

Obs: Preciso da resposta usando o método de escalonamento.

Resposta final:
1ª prova:5
2ª prova:2
3ª prova:3

Question

21-08-2013
Matemática

Answered

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Na disciplina de Matemática de certo curso, o professor aplicou 3 provas com pesos diferentes. Para melhor organizar as notas, ele construiu um quadro contendo a nota dos alunos em cada prova e sua média ponderada. No quadro estão destacadas as notas dos 3 alunos que obtiveram o melhor desempenho.
De acordo com o quadro, determine o peso de cada prova, sabendo que a soma deles é 10.

Obs: Preciso da resposta usando o método de escalonamento.

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Аноним Аноним · Answer 1 · 2013-08-21T22:30:23-03:00

Olá Liened,
boa noite!

Inicialmente, devemos entender como é calculada a média ponderada.

Consideremos os pesos:
1ª prova: peso x
2ª prova: peso y
3ª prova: peso z

Calculemos a nota da Natália da seguinte forma:

[tex]\frac{9,7\cdot x+8,4\cdot y+8,9\cdot z}{x+y+z}=9,2\\\\\frac{9,7\cdot x+8,4\cdot y+8,9\cdot z}{10}=9,2\\\\9,7\cdot x+8,4\cdot y+8,9\cdot z=92\;\;\times(10\\\\\boxed{97x+84y+89z=920}[/tex]

Calculemos a nota do Eduardo:

[tex]\frac{9,5\cdot x+8,3\cdot y+8,3\cdot z}{x+y+z}=8,9\\\\\frac{9,5\cdot x+8,3\cdot y+8,3\cdot z}{10}=8,9\\\\9,5\cdot x+8,3\cdot y+8,3\cdot z=89\;\;\times(10\\\\\boxed{95x+83y+83z=890}[/tex]

Nota da Vanessa:

[tex]\frac{8,4\cdot x+9,4\cdot y+8,4\cdot z}{x+y+z}=8,6\\\\\frac{8,4\cdot x+9,4\cdot y+8,4\cdot z}{10}=8,6\\\\8,4\cdot x+9,4\cdot y+8,4\cdot z=86\;\;\times(10\\\\\boxed{84x+94y+84z=860}[/tex]

Daí, o sistema abaixo:

[tex]\begin{cases} 97x+84y+89z=920\\95x+83y+83z=890\\84x+94y+84z=860\end{cases}[/tex]

Escalonemos,...

[tex]\begin{bmatrix}97&84&89&|&920\\95&83&83&|&890\\84&94&84&|&860\end{bmatrix}=\\L_2\leftarrow95L_1-97L_2\\L_3\leftarrow84L_1-97L_3\\\\\\\begin{bmatrix}97&84&89&|&920\\(95\cdot97-97\cdot95)&(95\cdot84-97\cdot83)&(95\cdot89-97\cdot83)&|&(95\cdot920-97\cdot890)\\(84\cdot97-97\cdot84)&(84\cdot84-97\cdot94 )&(84\cdot89-97\cdot84)&|&(84\cdot920-97\cdot860)\end{bmatrix}=[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}97&84&89&|&920\\0&-71&404&|&1070\\0&-2062&-672&|&-6140\end{bmatrix}=\\L_3\leftarrow2062L_1-71L_3[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}97&84&89&|&920\\0&-71&404&|&1070\\0&(-2062\cdot71+71\cdot2062)&(2062\cdot404+71\cdot672)&|&(2062\cdot1070+71\cdot6140)\end{bmatrix}=[/tex]

[tex]\begin{bmatrix}97&84&89&|&920\\0&-71&404&|&1070\\0&0&880760&|&2642280\end{bmatrix}=[/tex]

Para encontrarmos o valor de "z", ou seja, o peso da 3ª prova 'pegamos' a última linha, daí:

[tex]880760z=2642280\\\\\boxed{\boxed{z=3}}[/tex]

Para encontrar os outros valores, presumo que saiba como fazê-lo!!

Espero ter ajudado! E, Ufa!!

silvageeh silvageeh · Answer 2 · 2019-08-19T12:07:49-03:00

O peso de cada prova, sabendo que a soma deles é 10, são: primeira prova - 5, segunda prova - 2, terceira prova - 3.

Vamos considerar que o peso da primeira prova é x, o peso da segunda prova é y e o preço da terceira prova é z.

Com as informações do quadro, podemos montar o seguinte sistema linear:

{9,7x + 8,4y + 8,9z = 9,2

{9,5x + 8,3y + 8,3z = 8,9

{8,4x + 9,4y + 8,4z = 8,6.

Multiplicando todas as equações por 10, obtemos:

{97x + 84y + 89z = 92

{95x + 83y + 83z = 89

{84x + 94y + 84z = 86.

Pelo método do escalonamento, vamos escrever o sistema acima na forma de matriz aumentada: [tex]\left[\begin{array}{ccc}97&84&89|92\\95&83&83|89\\84&94&84|86\end{array}\right][/tex].

Agora, precisamos realizar operações entre as linhas.

Fazendo L1/97:

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&\84/97&89/97|92/97\\95&83&83|89\\84&94&84|86\end{array}\right][/tex]

Fazendo L2 - 95L1:

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&\84/97&89/97|92/97\\0&71/97&-404/97|-107/97\\84&94&84|86\end{array}\right][/tex]

Fazendo L3 - 84L1:

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&\84/97&89/97|92/97\\0&71/97&-404/97|-107/97\\0&2062/97&672/97|614/97\end{array}\right][/tex]

Fazendo 97L2/71:

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&\84/97&89/97|92/97\\0&1&-404/97|-107/97\\0&2062/97&672/97|614/97\end{array}\right][/tex]

Fazendo L3 - (2062/97)L2:

[tex]\left[\begin{array}{ccc}1&\84/97&89/97|92/97\\0&1&-404/97|-107/97\\0&0&9080/71|2724/71\end{array}\right][/tex].

Assim, temos um novo sistema:

{x + 84y/97 + 89z/97 = 92/97

{y - 404z/71 = -107/71

{9080z/71 = 2724/71

Da terceira equação, obtemos o valor de z, que é:

9080z = 2724

z = 0,3.

Substituindo o valor de z na segunda equação, obtemos o valor de y:

y - 404.0,3/71 = -107/71

y - 121,2/71 = -107/71

y = -107/71 + 121,2/71

y = 0,2.

Substituindo os valores de y e z na primeira equação, obtemos o valor de x:

x + 84.0,2/97 + 89.0,3/97 = 92/97

x + 16,8/97 + 26,7/97 = 92/97

x + 43,5/97 = 92/97

x = 92/97 - 43,5/97

x = 0,5.

Como multiplicamos as equações por 10, então podemos concluir que os pesos são:

x = 5

y = 2

z = 3.

Para mais informações sobre sistema linear, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/19598700

Sagot :

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